今回の問題は「我を忘れて」「まさか」「期待が持てそう」「助ける」の4問です！
「助ける」って？！ネタバレになっちゃうけど help でしょ？
ふふ、甘いな、ゼブラくん。問題は ( ) you ( ) とカッコが2つあるのさ。
第1問
彼は怒りで我を忘れていた。
He was ( ) himself ( ) anger.
答え：He was ( beside ) himself ( with ) anger.
beside は「～の傍らに」という意味のほかに beside the point「的外れ」の場合のように「外れて」を表すことがあります。beside oneself の beside はこの意味で「私自身を外れている状態」を表し、この状態はすなわち「我を忘れて（いる状態）」というわけです。
beside oneself with ～ = ～で我を忘れる
第2問
まさか/マジで！。
You don't ( )！
答え：You don't ( say )！
You don't say that ～ 「あなたは～とは言わない」の that 以下を省略、あるいは You don't say so「あなたはそう言わない」の so を省略した形だと思うとわかりやすいかなと思います（You don't say so も同じ意味で使われます）。
結局「そんなこと言わないでしょ」ということから驚きを表して「まさか」とか「マジで」というニュアンスになると考えられます。
You don't say (so) = まさか/マジで
第3問
（説明を聞いた後で）それは期待が持てそうだ。
That ( ) ( ).
答え：That ( sounds ) ( promising ).
実は（説明を聞いた後で）がミソで、この前置きがないと looks promising でもOK。sound と look は「聞いたこと」か「見たこと」の違い。
promising は「有望な」という形容詞です。「約束してくれる」→「有望な」という感じ。
sound/look promising = 有望そうだ（有望そうに聞こえる/見える）
第4問
手を貸しましょう。
I'll ( ) you ( ).
答え：I'll ( help ) you ( out ).
I'll help you. でもほぼ同じだと思うのですが help out という言い方もあるということで問題にしました。少しネットを調査してみましたがネイティブスピーカーの意見では「意味としては help も help out も同じじゃね」という感じでした。
意味は同じでも用法の大きな違いが2つあります。
調査の中で見つけたわかりやすい説明を引用させてもらいます（Yes, 「パクる」ともいいます^^）
相違点その1
Only people can help you out. A dictionary can help you but it can't help you out.
つまり help out は「人」が主語のときで、モノの時は help のみということ。
相違点その2
help me do the dishes ○
help me out do the dishes × → help me out to do the dishes ○
という用法の違い。
他にも help out の方が口語的などの意見もありましたが、ここでは特にこの２つの相違点を確認しておいてください。
むずくない？
うん、むずい。出題者が言うんだから間違いない^0^
あとがき
あまり深く検討していないため「いや、これでもいけるっしょ」という答えを思いついたという方はそっと教えていただけると大変助かります。
最後まで読んでくれてありがとう！！また，遊びに来てね♡